MANUAL DE CORRECCIÓN DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS DE LA FICHA 17

MANUAL DE CORRECCIÓN DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS DE LA FICHA 17

Indicadores de evaluación

ü  Selecciona información de diversas fuentes para organizar datos de situaciones de equivalencias, y expresa un modelo referido a ecuaciones cuadráticas de una incógnita.

ü  Expresa de forma gráfica el conjunto solución de una ecuación cuadrática.

ü  Emplea procedimientos, estrategias, recursos gráficos y otros, para solucionar problemas referidos a ecuaciones cuadráticas.

ü  Justifica los procedimientos de resolución de una ecuación cuadrática  completa haciendo  uso de propiedades.

Completen la tabla que se muestra a continuación. Utilicen la calculadora para efectuar las operaciones.

Presión	Constante	Área del objeto	Velocidad del viento
0.0703125	0.005859375	12 m2	1 km/h
0.28125	0.005859375	12 m2	2 km/h
4.5	0.005859375	12 m2	8 km/h
18	0.005859375	12 m2	16 km/h
72	0.005859375	12 m2	32 km/h
288	0.005859375	12 m2	64 km/h
36	0.005859375	24 m2	16 km/h
54	0.005859375	36 m2	16 km/h
72	0.005859375	48 m2	16 km/h

Israel y Juan plantean calcular la fuerza que ejerció el viento en una de las caras de la escuela derribada por el tornado. Con los datos obtenidos en las noticias que aparecen en el periódico, determinan que la velocidad del viento fue de 240 km/h; calcula que la altura del edificio escolar era de 6 m y su longitud de 40 m, aproximadamente ¿Cuál fue la fuerza ejercida?

Velocidad: 240 km/h

Área de una de las caras laterales del edificio: (6m)(40m) : 240m²

Constante: 0.005859375

Presión ejercida:

ANALIZAMOS                                 

1.     Las utilidades expresadas en  “U” de una empresa, en miles de soles, está dada por la siguiente expresión: U(x) = - (x- 25)² + 12, donde la variable x expresa el número de cientos de unidades producidas y vendidas. Halle el número de unidades que se deben producir y vender para obtener la máxima utilidad posible, y halle la máxima utilidad posible.

a)     x= 25, Umax  ( x )=12

b)     x= 12, Umax  ( x )=12

c)     x= 12, Umax  ( x )=25

d)     x= -12, Umax  ( x )=12

Solución:

Umax = Max. Utilidad

N° de unidades: x

Umax  ( x ) = -(x- 25)² + 12

La máxima utilidad se genera cuando eliminamos el factor negativo dándole a x el valor de 25

        -(x- 25)² =0

X=25  asimismo recordemos que “ x ”expresa el numero de cientos de unidades, por lo cual el número de unidades que se debe producir y vender es 2500 .

Ahora  reemplazamos  el valor de X = 25 para hallar la utilidad máxima

Umax  ( x )= -(25- 25)² + 12

Umax  ( x )=12

Como se sabe la utilidad máxima también esta expresada en cientos  entonces la utilidad máxima será de 1200 soles

2.     Una fábrica que se dedica a la producción de ciertos artículos de decoración, tiene un costo fijo mensual de S/ 400 y un costo variable por unidad producida de S/ 20. Además, se sabe que su ingreso está dado por la siguiente expresión: , donde x representa el número de artículos que produce y vende la empresa mensualmente. Halle la utilidad que obtendrá la empresa si produce y vende 20 artículos.

a)    U(x) = -2000

b)    U(x) =2800

c)    U(x) =4400

d)    U(x) =2000

SOLUCION:

 Produce y vende: 20 artículos

Sea I(t) = -2X² + 180 X

 C(X) = 400 + 20 X

I(X) -C(X) = Utilidad

-2X² + 180 X-(400+20x)=U(x)

-2X² + 160 X-400=U(x)

Utilidad(20) =-2(20)² + 160 (20)-400

= -800 +3200-400

Utilidad(20)=2000

PRACTICAMOS

1. Don Jose  recibe la siguiente información de su “Servicentro” acerca del rendimiento de la gasolina de un auto: el número T de kilómetro que puede viajar un automóvil con un galón de gasolina depende de la velocidad x en kilómetros por hora, donde ambas magnitudes se relacionan mediante la siguiente expresión matemática:  para  

¿Cuál es la velocidad que proporciona el número máximo de kilómetros por galón?  Y ¿Cuál es el máximo número de kilómetros por galón que puede rendir la gasolina para este auto?

a)     X=25 ; T(x) = 225

b)    X=225 ; T(x) = 250

c)    X=-25 ; T(x) = 225

d)    X=20 ; T(x) = 400

  SOLUCIÓN:

Datos  :       x = velocidad en kilómetros por hora

            = Numero de kilómetros por galón máximo 

Se sabe que  

                             

La velocidad que maximiza a T ( x )  se halla cuando se elimina el factor negativo:      

                              

                                           

Dato que cumple con la condición de

Por lo tanto el N° de kilómetros por galón máximo:

2. Un inversionista desea iniciarse en la venta de sombreros finos. Para ello decide averiguar cuál es la ganancia que obtienen dos fábricas distintas, A y B; de esta manera podrá decidir en cuál invertir.

La fábrica A produce “x” sombreros al día. El costo de producción total al día viene dado en soles por la siguiente expresión: x² – 10x + 360 y el precio de venta al público es de S/ 80 por cada sombrero.

La fábrica B produce “40-x” sombreros al día. El costo de producción es de S/ 60 por cada sombrero y el precio de venta al público es de S/ 3x por cada uno.

A partir de la información proporcionada, y suponiendo que todo lo que se produce se vende, responda a las siguientes interrogantes:

¿Cuántos sombreros se deben producir al día en cada fábrica para obtener la máxima ganancia posible? ¿Cuál sería la fábrica que elegiría el inversionista?

Respuesta adecuada:

El estudiante halla la máxima ganancia representándola en una ecuación de segundo grado para la fábrica A y la fábrica B.

Fábrica A:

Produce: x  sombreros / día

Costo Producción: x2 – 10x + 360

Pventa: 80 cada uno

Fábrica A:

Con 45 sombreros obtiene una ganancia máxima  de 2385  soles

Fábrica B:

Produce: 40-x  sombreros / día

Costo Producción: 60 x sombrero

Pventa: 3x cada uno

Fábrica B:

Reduciendo tenemos :

 

 Ahora  factorizamos -3 

                                                          

 Ahora le damos la forma de un trinomio cuadrado perfecto al factor que está dentro del paréntesis

                                                

                                                          

Cuando reemplazamos x =10  obtenemos la máxima ganancia pues hacemos que se elimine el factor negativo.

Por lo tanto con 10 sombreros se obtiene una ganancia máxima  de 300 soles.

Analizando las ganancias de las  fabricas A y B vemos que es conveniente optar por la fábrica A ya que al fabricar 45 sombreros obtenemos una ganancia de 2385 soles a comparación de la fábrica B que al producir 10 sombreros obtendría una ganancia  de 300 soles lo cual no le genera muchas utilidades a comparación de A.

Respuesta parcial:

El estudiante identifica la estrategia pero  se  equivoca  al aplicar los algoritmos.

Respuesta inadecuada:

El estudiante opta por una respuesta pero no justifica su respuesta.

El estudiante no identifica la estrategia  a resolver

3. El dueño de la panadería El Baguetito, recibe la noticia del último aumento de la harina de trigo y desea conocer cómo se verá afectado este acontecimiento en la venta del pan. Luego de un estudio, encontró lo siguiente: Cuando el precio de cada pan era de S/ 0.25, se vendía en total 15 000 panes al día. Por cada S/ 0.01 de aumento, se dejaban de vender 20 panes diariamente.

a)     Con la información anterior, complete la siguiente tabla.

b)     Considerando x = 0.25 + m(0.01), exprese m en términos de x.

a)    Con la información anterior, complete la siguiente tabla.

Precio por pan X	Número de panes vendidos diariamente  Y
0.25	15 000
0.25 + (1) 0,01	15 000 – (1) (20)
0.25 + 2(0,01)
0.25 + 3(0,01)
0.25 + 4(0,01)
0.25 + m(0,01)

Respuesta adecuada: El estudiante induce una regla de formación  para el número de panes vendidos diariamente, luego generaliza para m días Precio por pan X Número de panes vendidos diariamente Y 0.25 15 000 0.25 x (1) 0.01 15 000 – (1) (20) 0.25 + 2(0.01) 15 000 – (2) (20) 0.25 + 3(0.01) 15 000 – (3) (20) 0.25 + 4(0.01) 15 000 – (4) (20) 0.25 + m(0.01) 15 000 – (m) (20)

Respuesta parcial: El estudiante identifica la regla de formación  pero  no logra generalizar para m días   .

Respuesta inadecuada: El estudiante no identifica la regla de formación  por lo cual no puede generalizar.

b)    Considerando x = 0.25 + m(0.01), exprese m en términos de x.

Respuesta adecuada: El estudiante halla el valor  de m en términos de x , logra despejar sin ninguna dificultad la variable. x = 0,25 + m(0,01) Ahora multiplicamos al numerador y denominador por 100 m = 100(x-0,25)

Respuesta parcial: El estudiante identifica la estrategia a resolver pero se equivoca en el manejo de los algoritmos.

Respuesta inadecuada: El estudiante no puede despejar, no establece una estrategia de resolución.

4. Durante varios días se observó el comportamiento del precio de 1 kg. De pollo y el número de kg que se vendían de esta ave, llegándose a las siguientes conclusiones: Cuando el precio del Kg. De pollo era S/. 6, se vendían75 000 kg de esta ave. Por cada S/. 0.20 que este precio se incrementaba, se vendían 800 kg. Menos. Halle una expresión matemática que relacione las variables p y n, donde p es el precio de 1 kg de pollo y n es el número de kg de pollos vendidos.

a)        n = 7500 – 4000 (p – 6)

b)        n = 75000 – 800 (p – 6)

c)         n = 75000 – 4000 (p – 5)

d)        n = 75000 – 4000 (p – 6)

SOLUCIÓN

 p = 6 + 0.2 m à m = 5(p - 6)

n = 75000 – 800m à n = 75000 – 800 (5(p – 6))

                        n = 75000 – 4000 (p – 6)

5. Una persona se ubica en la parte más alta de una plataforma de salto. Al lanzarse desde 40 m de altura, la trayectoria que sigue la persona está descrita por la función ¿Cuál es la distancia horizontal recorrida por la persona?

a)        2/5

b)        20

c)         15

d)        10

SOLUCIÓN

, se lanza desde 40 metros de altura

Distancia horizontal

       La distancia horizontal es de 10

6. Resuelve el siguiente  sistema de ecuaciones.

a)    A.  ;     

b)    B.  ;

c)    C.  ;

d)    D.  ;

SOLUCIÓN

      ;          

De la ecuación se deduce que +8  es  mayor que cero por lo que deducimos -9 = 0

        

                  ó                                 

                         

7. Carlos sabe que el marco del cuadro es cuadrado y su área es de 256 cm² ¿Cuáles son las dimensiones del cuadro?

a)     l = 24 cm

b)     l = 12 cm

c)     l = 14 cm

d)     l = 16 cm

SOLUCIÓN:

Área = 256 cm² à ( ) ( ) = 256

 = 256

8. Para fabricar una caja en forma de prisma rectangular se utiliza una pieza cuadrada de cartón, cuyo lado mide “ y ”   . La pieza de cartón se dobla de manera que se forman cuatro rectángulos, cada uno de los cuales tiene un área de 3y .Hallar el valor de y

  

¿Cuál es la ecuación que representa el área total del cartón usado?

a)     y = 3y

b)     y = 3

c)     Y=4

d)     Y = 12

SOLUCIÓN:

Área del cartón doblado en 4 partes  à4(3y) =12 y

                            Área total del cartón :

Ahora hallamos el valor de y  igualando las dos áreas :

Área del cartón doblado en 4 partes  = Área total del cartón

                                                               12 y =  

                                                                                          Y = 12

9. La gráfica de la función que representa el movimiento del balón de baloncesto es: Representa mejor la trayectoria del balón de baloncesto

 

a

b

 

 

c

d

 

Respuesta adecuada: El estudiante identifica el movimiento de un baloncesto como una curva pronunciada y que tiene que ser de subida considerando la estatura del jugador y  la altura del cesto. Por lo cual considera más factible la  alternativa  “a”.

Respuesta parcial: El estudiante identifica el movimiento de  subida  de un baloncesto pero no discrimina como una  curva pronunciada. Por lo cual considera mas factible la  alternativa  “c”.

Respuesta inadecuada: .El estudiante no  identifica el movimiento de  subida  de un baloncesto y no discrimina como una  curva pronunciada. Por lo cual considera mas factible la  alternativa  “b y d”.

10. Calcular la edad de Andrea  si sabemos que el cuadrado de su edad menos las tres cuartas partes del cuadrado de lo que va a tener el año que viene es igual a la edad que tenía el año pasado más 43 años.

a)     -9

b)     9

c)     18

d)     19

SOLUCIÓN:

Edad  de Andrea : x

X                            -19

X                            +9

Por lo tanto x = 19 ; es decir la edad de Andrea es 19 años.

11. Una gota de aceite de 9x10^-7kg de masa y de 0,918g/cm3 de densidad se procede a esparcir, este proyecta una forma circular  de 41,8cm de radio sobre la superficie del agua. ¿Cuál es el espesor que tiene esta “película” de aceite?

a)    

b)    

c)    

d)    

SOLUCIÓN

            Masa de la gota= 9 x 10^-7 kg ahora lo convertimos a gramos

          Masa de la gota = 9 x 10^-7 x 10³ gramos = 9 x 10^-4 

Sabemos que la densidad = 0.918

         Recordemos que densidad es masa sobre volumen

           D = m/v

          Vol =

En la película de aceite:

Superficie de la gota =         

 Sabemos que la superficie multiplicado por el espesor nos da el volumen.

Ahora reemplazamos  y hallamos el espesor

12. El profesor de matemática le pide a sus estudiantes que resuelvan la ecuación . Uno de sus estudiantes obtuvo como solución =-3 y = 2/3; en cambio, otro de sus estudiantes dijo =3 y = -2/3¿Quién tiene razón?

a.    SOLUCIÓN

Respuesta adecuada: El estudiante justifica a través del aspa simple u otra estrategia que la respuesta correcta es la primera. +  7x  -  6 =0 3x             -2 X               3 ( 3x -2 ) ( x + 3 ) = 0         ; x + 3= 0   v    3x -2  = 0   =-3                    = 2/3;

Respuesta parcial: El estudiante identifica la estrategia pero  se  equivoca  al aplicar los algoritmos.

Respuesta inadecuada: El estudiante opta por una respuesta pero no justifica su respuesta. El estudiante no identifica la estrategia  a resolver

13. Con 29 losetas adicionales, el piso de mi habitación, que es cuadrada, tendría exactamente una baldosa más por lado (ver figura). Piso de mi habitación

¿Cuántas losetas tiene el piso de mi habitación?

 Si  la longitud del lado de cada losetas es 25 cm ¿cuál es el área del piso de mi habitación?

a)    # de losetas = 14 ; A= 1225 cm²

b)    # de losetas = 20 ; A= 196  cm²

c)    # de losetas= 28 ; A= 350 cm²

d)    # de losetas = 14 ; A= 12,25  m²

SOLUCIÓN

                                                   

n(n) + 29 = (n+1)(n+1)

n² + 29 = n² + 2n +1

2n + 1 = 29

2n = 28

n = 14

 Mi habitación tiene 14 x 14 = 196 losetas

 25 x 14 = 350 cm à Lado del cuarto

3.5

= 12,25 m2 área del  piso

3.5

 

14. Mario se informa del “Servicentro” que frecuenta acerca del rendimiento de la gasolina de un auto: el número T de kilómetro que puede viajar un automóvil con un galón de gasolina depende de la velocidad x en kilómetros por hora, donde ambas magnitudes se relacionan mediante la siguiente expresión matemática:  para x:  . Exprese T en la forma  es decir, halle a, h y k.

a)    a = -1; h = +25;  k = 225

b)    a = 1; h = +25;  k = 250

c)    a = -1; h = -25;  k = 225

d)    a = -1; h = +25;  k = -225

SOLUCION

a = -1                                      

h = +25                                    

k = 225                                 

15. Marcelo y Patricio son dueños de una empresa dedicada al alquiler de automóviles. La utilidad en soles que ellos tienen por alquilar un automóvil durante un tiempo t (en horas) está dada por: . Si ellos alquila un automóvil durante 8 horas ¿Cuánto obtendrán de ganancia?

a) 

b) 

c)  

d) 

SOLUCIÓN:

                                                          

                                                               

                                                          

                                                          

A continuación se presenta la calve de respuestas de los ítems cerrados:

N° pregunta	Clave
1	a
2	----
3	----
4	a
5	d
6	a
7	d
8	d
9	----
10	d
11	b
12	----
13	d
14	a
15	d