MANUAL DE CORRECCIÓN DE LOS
PROBLEMAS PROPUESTOS DE LA FICHA 17
Indicadores de evaluación
ü Selecciona
información de diversas fuentes para organizar datos de situaciones de
equivalencias, y expresa un modelo referido a ecuaciones cuadráticas de una
incógnita.
ü Expresa
de forma gráfica el conjunto solución de una ecuación cuadrática.
ü Emplea
procedimientos, estrategias, recursos gráficos y otros, para solucionar
problemas referidos a ecuaciones cuadráticas.
ü Justifica
los procedimientos de resolución de una ecuación cuadrática completa haciendo uso de propiedades.
Completen
la tabla que se muestra a continuación. Utilicen la calculadora para efectuar
las operaciones.
|
Presión
|
Constante
|
Área del objeto
|
Velocidad del viento
|
|
0.0703125
|
0.005859375
|
12 m2
|
1 km/h
|
|
0.28125
|
0.005859375
|
12 m2
|
2 km/h
|
|
4.5
|
0.005859375
|
12 m2
|
8 km/h
|
|
18
|
0.005859375
|
12 m2
|
16 km/h
|
|
72
|
0.005859375
|
12 m2
|
32 km/h
|
|
288
|
0.005859375
|
12 m2
|
64 km/h
|
|
36
|
0.005859375
|
24 m2
|
16 km/h
|
|
54
|
0.005859375
|
36 m2
|
16 km/h
|
|
72
|
0.005859375
|
48 m2
|
16 km/h
|
Israel
y Juan plantean calcular la fuerza que ejerció el viento en una de las caras de
la escuela derribada por el tornado. Con los datos obtenidos en las noticias
que aparecen en el periódico, determinan que la velocidad del viento fue de 240
km/h; calcula que la altura del edificio escolar era de 6 m y su longitud de 40
m, aproximadamente ¿Cuál fue la fuerza ejercida?
Velocidad:
240 km/h
Área
de una de las caras laterales del edificio: (6m)(40m) : 240m2
Constante:
0.005859375
Presión
ejercida:
ANALIZAMOS
1. Las utilidades expresadas en “U”
de una empresa, en miles de soles, está dada por la siguiente expresión: U(x) =
- (x- 25)2 + 12, donde la variable x expresa el número de cientos de
unidades producidas y vendidas. Halle el número de unidades que se deben
producir y vender para obtener la máxima utilidad posible, y halle la máxima
utilidad posible.
a)
x= 25, Umax ( x )=12
b) x= 12, Umax ( x )=12
c) x= 12, Umax ( x )=25
d) x= -12, Umax ( x )=12
Solución:
Umax = Max. Utilidad
N° de unidades: x
Umax ( x ) = -(x- 25)2 + 12
La máxima utilidad se genera cuando
eliminamos el factor negativo dándole a x el valor de 25
-(x- 25)2 =0
X=25
asimismo recordemos que “ x ”expresa el numero de cientos de unidades, por
lo cual el número de unidades que se debe producir y vender es 2500 .
Ahora
reemplazamos el valor de X = 25
para hallar la utilidad máxima
Umax ( x )= -(25- 25)2 + 12
Umax
( x )=12
Como se sabe la utilidad máxima también
esta expresada en cientos entonces la
utilidad máxima será de 1200 soles
2. Una fábrica que se dedica a la
producción de ciertos artículos de decoración, tiene un costo fijo mensual de
S/ 400 y un costo variable por unidad producida de S/ 20. Además, se sabe que
su ingreso está dado por la siguiente expresión:
, donde x representa el número de artículos que produce y
vende la empresa mensualmente. Halle la utilidad que obtendrá la empresa si
produce y vende 20 artículos.
a) U(x) = -2000
b) U(x) =2800
c) U(x) =4400
d)
U(x) =2000
SOLUCION:
Produce y vende: 20 artículos
Sea I(t) = -2X2 + 180 X
C(X) = 400 + 20 X
I(X) -C(X) = Utilidad
-2X2 + 180 X-(400+20x)=U(x)
-2X2 + 160 X-400=U(x)
Utilidad(20) =-2(20)2 + 160
(20)-400
= -800 +3200-400
Utilidad(20)=2000
PRACTICAMOS
- Don Jose recibe la siguiente información de su “Servicentro”
acerca del rendimiento de la gasolina de un auto: el número T de kilómetro
que puede viajar un automóvil con un galón de gasolina depende de la
velocidad x en kilómetros por hora, donde ambas magnitudes se relacionan
mediante la siguiente expresión matemática:
para
¿Cuál es la
velocidad que proporciona el número máximo de kilómetros por galón? Y ¿Cuál es el máximo número de kilómetros por
galón que puede rendir la gasolina para este auto?
a) X=25
; T(x) = 225
b) X=225 ; T(x) = 250
c) X=-25 ; T(x) = 225
d) X=20 ; T(x) = 400
SOLUCIÓN:
Datos
: x = velocidad en
kilómetros por hora
=
Numero de kilómetros por galón máximo
Se sabe que
La velocidad que maximiza a T ( x ) se halla cuando se elimina el factor negativo:
Dato que cumple con la condición de
Por lo tanto el N° de kilómetros por galón máximo:
- Un inversionista desea iniciarse
en la venta de sombreros finos. Para ello decide averiguar cuál es la
ganancia que obtienen dos fábricas distintas, A y B; de esta manera podrá
decidir en cuál invertir.
La
fábrica A produce “x” sombreros al día. El costo de producción total al día
viene dado en soles por la siguiente expresión: x2 – 10x + 360 y el
precio de venta al público es de S/ 80 por cada sombrero.
La
fábrica B produce “40-x” sombreros al día. El costo de producción es de S/ 60
por cada sombrero y el precio de venta al público es de S/ 3x por cada uno.
A
partir de la información proporcionada, y suponiendo que todo lo que se produce
se vende, responda a las siguientes interrogantes:
¿Cuántos
sombreros se deben producir al día en cada fábrica para obtener la máxima
ganancia posible? ¿Cuál sería la fábrica que elegiría el inversionista?
Respuesta adecuada:
El
estudiante halla la máxima ganancia representándola en una ecuación de segundo
grado para la fábrica A y la fábrica B.
Fábrica A:
Produce: x sombreros / día
Costo Producción:
x2 – 10x + 360
Pventa: 80 cada
uno
Fábrica A:
Con 45 sombreros
obtiene una ganancia máxima de 2385 soles
Fábrica B:
Produce: 40-x sombreros / día
Costo Producción:
60 x sombrero
Pventa: 3x cada
uno
Fábrica B:
Reduciendo tenemos
:
Ahora
factorizamos -3
Ahora le damos la forma de un trinomio
cuadrado perfecto al factor que está dentro del paréntesis
Cuando
reemplazamos x =10 obtenemos la máxima
ganancia pues hacemos que se elimine el factor negativo.
Por lo tanto con
10 sombreros se obtiene una ganancia máxima
de 300 soles.
Analizando las
ganancias de las fabricas A y B vemos
que es conveniente optar por la fábrica A ya que al fabricar 45 sombreros
obtenemos una ganancia de 2385 soles a comparación de la fábrica B que al
producir 10 sombreros obtendría una ganancia
de 300 soles lo cual no le genera muchas utilidades a comparación de A.
Respuesta parcial:
El
estudiante identifica la estrategia pero
se equivoca al aplicar los algoritmos.
Respuesta inadecuada:
El
estudiante opta por una respuesta pero no justifica su respuesta.
El
estudiante no identifica la estrategia a
resolver
- El dueño de la panadería El
Baguetito, recibe la noticia del último aumento de la harina de trigo y
desea conocer cómo se verá afectado este acontecimiento en la venta del
pan. Luego de un estudio, encontró lo siguiente: Cuando el precio de cada
pan era de S/ 0.25, se vendía en total 15 000 panes al día. Por cada S/
0.01 de aumento, se dejaban de vender 20 panes diariamente.
a) Con la información anterior, complete
la siguiente tabla.
b) Considerando x = 0.25 + m(0.01),
exprese m en términos de x.
a) Con la información anterior, complete
la siguiente tabla.
|
Precio por pan X
|
Número de panes
vendidos diariamente Y
|
|
0.25
|
15 000
|
|
0.25 + (1) 0,01
|
15 000 – (1)
(20)
|
|
0.25 + 2(0,01)
|
|
|
0.25 + 3(0,01)
|
|
|
0.25 + 4(0,01)
|
|
|
0.25 + m(0,01)
|
|
|
Respuesta adecuada: El estudiante induce una regla de formación para el número de panes vendidos
diariamente, luego generaliza para m días
|
Precio
por pan X
|
Número
de panes vendidos diariamente
Y
|
|
0.25
|
15
000
|
|
0.25
x (1) 0.01
|
15
000 – (1) (20)
|
|
0.25
+ 2(0.01)
|
15
000 – (2) (20)
|
|
0.25
+ 3(0.01)
|
15
000 – (3) (20)
|
|
0.25
+ 4(0.01)
|
15
000 – (4) (20)
|
|
0.25
+ m(0.01)
|
15
000 – (m) (20)
|
|
|
Respuesta parcial: El
estudiante identifica la regla de formación
pero no logra generalizar para
m días .
|
|
Respuesta inadecuada:
El estudiante no
identifica la regla de formación por
lo cual no puede generalizar.
|
b) Considerando x = 0.25 + m(0.01),
exprese m en términos de x.
|
Respuesta adecuada: El estudiante halla el valor de
m en términos de x , logra despejar sin ninguna dificultad la variable.
x = 0,25 +
m(0,01)
Ahora
multiplicamos al numerador y denominador por 100
m =
100(x-0,25)
|
|
Respuesta parcial: El estudiante
identifica la estrategia a resolver pero se equivoca en el manejo de los
algoritmos.
|
|
Respuesta inadecuada:
El estudiante no puede despejar, no establece una estrategia de
resolución.
|
- Durante varios días se observó el
comportamiento del precio de 1 kg. De pollo y el número de kg que se
vendían de esta ave, llegándose a las siguientes conclusiones: Cuando el
precio del Kg. De pollo era S/. 6, se vendían75 000 kg de esta ave. Por
cada S/. 0.20 que este precio se incrementaba, se vendían 800 kg. Menos.
Halle una expresión matemática que relacione las variables p y n, donde p
es el precio de 1 kg de pollo y n es el número de kg de pollos vendidos.
a)
n
= 7500 – 4000 (p – 6)
b)
n
= 75000 – 800 (p – 6)
c)
n
= 75000 – 4000 (p – 5)
d)
n
= 75000 – 4000 (p – 6)
SOLUCIÓN
p = 6 + 0.2 m à m = 5(p - 6)
n = 75000 –
800m à n = 75000 –
800 (5(p – 6))
n
= 75000 – 4000 (p – 6)
- Una persona se ubica en la parte
más alta de una plataforma de salto. Al lanzarse desde 40 m de altura, la
trayectoria que sigue la persona está descrita por la función
¿Cuál es la distancia horizontal recorrida por la
persona?
a)
2/5
b)
20
c)
15
d)
10
SOLUCIÓN
, se lanza desde 40 metros de altura
Distancia
horizontal
La distancia horizontal es de 10
- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
a) A.
;
b) B.
;
c) C.
;
d) D.
;
SOLUCIÓN
;
De la ecuación se deduce que
+8 es
mayor que cero por lo que deducimos
-9 = 0
ó
- Carlos sabe que el marco del
cuadro es cuadrado y su área es de 256 cm2 ¿Cuáles son las
dimensiones del cuadro?
a) l = 24 cm
b) l = 12 cm
c) l = 14 cm
d) l = 16 cm
SOLUCIÓN:
Área = 256 cm2 à
(
) (
) = 256
= 256
- Para fabricar una caja en forma de
prisma rectangular se utiliza una pieza cuadrada de cartón, cuyo lado mide
“ y ”
. La pieza de
cartón se dobla de manera que se forman cuatro rectángulos, cada uno de
los cuales tiene un área de 3y
.Hallar el valor de y
¿Cuál
es la ecuación que representa el área total del cartón usado?
a) y = 3y
b) y = 3
c) Y=4
d) Y = 12
SOLUCIÓN:
Área del cartón doblado en 4 partes à4(3y) =12 y
Ahora hallamos el valor de y igualando las dos áreas :
Área del cartón doblado en 4 partes = Área total del cartón
12
y =
Y = 12
- La gráfica de la función que
representa el movimiento del balón de baloncesto es: Representa mejor la
trayectoria del balón de baloncesto
|
Respuesta adecuada: El estudiante identifica el movimiento de un baloncesto como una curva
pronunciada y que tiene que ser de subida considerando la estatura del
jugador y la altura del cesto. Por lo
cual considera más factible la
alternativa “a”.
|
|
Respuesta parcial: El estudiante identifica el movimiento de subida
de un baloncesto pero no discrimina como una curva pronunciada. Por lo cual considera
mas factible la alternativa “c”.
|
|
Respuesta inadecuada: .El estudiante no identifica el
movimiento de subida de un baloncesto y no discrimina como
una curva pronunciada. Por lo cual
considera mas factible la
alternativa “b y d”.
|
- Calcular la edad de Andrea si sabemos que el cuadrado de su edad
menos las tres cuartas partes del cuadrado de lo que va a tener el año que
viene es igual a la edad que tenía el año pasado más 43 años.
a) -9
b) 9
c) 18
d) 19
SOLUCIÓN:
Edad de Andrea : x
X -19
X +9
Por lo tanto x = 19 ; es
decir la edad de Andrea es 19 años.
- Una gota de aceite de 9x10-7kg
de masa y de 0,918g/cm3 de densidad se procede a esparcir, este proyecta
una forma circular de 41,8cm de
radio sobre la superficie del agua. ¿Cuál es el espesor que tiene esta
“película” de aceite?
a)
b)
c)
d)
SOLUCIÓN
Masa
de la gota= 9 x 10-7 kg ahora lo convertimos a gramos
Masa de la gota = 9 x 10-7
x 103 gramos = 9 x 10-4
Sabemos
que la densidad = 0.918
Recordemos que densidad es masa sobre
volumen
D = m/v
Vol =
En
la película de aceite:
Superficie
de la gota =
Sabemos que la superficie multiplicado por el
espesor nos da el volumen.
Ahora
reemplazamos y hallamos el espesor
- El profesor de matemática le pide a sus estudiantes que
resuelvan la ecuación
. Uno de sus estudiantes obtuvo como solución
=-3 y
= 2/3; en cambio, otro de sus estudiantes dijo
=3 y
= -2/3¿Quién tiene razón?
a.
SOLUCIÓN
|
Respuesta adecuada: El estudiante
justifica a través del aspa simple u otra estrategia que la respuesta
correcta es la primera.
+
7x - 6 =0
3x
-2
X
3
( 3x -2 ) ( x + 3 ) = 0 ; x + 3= 0 v
3x -2 = 0
=-3
= 2/3;
|
|
Respuesta parcial: El estudiante identifica la estrategia
pero se equivoca
al aplicar los algoritmos.
|
|
Respuesta inadecuada:
El estudiante opta por una respuesta pero no justifica su
respuesta.
El estudiante no identifica la estrategia a resolver
|
- Con 29 losetas adicionales, el
piso de mi habitación, que es cuadrada, tendría exactamente una baldosa
más por lado (ver figura). Piso de mi habitación
¿Cuántas losetas
tiene el piso de mi habitación?
Si la
longitud del lado de cada losetas es 25 cm ¿cuál es el área del piso de mi
habitación?
a) # de losetas = 14 ; A= 1225 cm2
b) # de losetas = 20 ; A= 196 cm2
c) # de losetas= 28 ; A= 350 cm2
d) # de losetas = 14 ; A= 12,25 m2
SOLUCIÓN
n(n) + 29 =
(n+1)(n+1)
n2 + 29
= n2 + 2n +1
2n + 1 = 29
2n = 28
n = 14
Mi habitación tiene 14 x 14 = 196 losetas
25 x 14 = 350 cm à
Lado del cuarto
- Mario se informa del “Servicentro”
que frecuenta acerca del rendimiento de la gasolina de un auto: el número T
de kilómetro que puede viajar un automóvil con un galón de gasolina
depende de la velocidad x en kilómetros por hora, donde ambas magnitudes
se relacionan mediante la siguiente expresión matemática:
para x:
. Exprese T en la forma
es decir, halle a,
h y k.
a) a = -1; h = +25; k = 225
b) a = 1; h = +25; k = 250
c) a = -1; h = -25; k = 225
d) a = -1; h = +25; k = -225
SOLUCION
a = -1
h = +25
k = 225
- Marcelo y Patricio son dueños de
una empresa dedicada al alquiler de automóviles. La utilidad en soles que
ellos tienen por alquilar un automóvil durante un tiempo t (en horas) está
dada por:
. Si ellos alquila un automóvil durante 8 horas ¿Cuánto
obtendrán de ganancia?
a)
b)
c)
d)
SOLUCIÓN:
A continuación se presenta la calve de
respuestas de los ítems cerrados:
|
N°
pregunta
|
Clave
|
|
1
|
a
|
|
2
|
----
|
|
3
|
----
|
|
4
|
a
|
|
5
|
d
|
|
6
|
a
|
|
7
|
d
|
|
8
|
d
|
|
9
|
----
|
|
10
|
d
|
|
11
|
b
|
|
12
|
----
|
|
13
|
d
|
|
14
|
a
|
|
15
|
d
|
